1
1-1 مقدمه حل بسیاری از مسائل اجتماعی اقتصادی علمی منجر به حل معادله ای به شکل ) ( می شد. منظر از حل این معادله یافتن عدد یا اعدادی است که مقدار تابع به ازای آنها صفر شد. اگر (α) آنگاه α را ریشه معادله ) ( مینامند یا میگیند α یک صفر تابع است. معادله ) ( برحسب نع تابع به د دسته تقسیم می شد: ( 1( معادالت متعالی ( 2 ) معادالت چندجمله ای البته با تجه به اینکه در ارتباط با ریشه یابی تابع متعالی در کتب آنالیز عددی به طر فراان کار شده است لذا بحث اصلی این پایان نامه در ارتباط با ریشه یابی تابع چندجملهای است هرچند همان گنه که مشاهده خاهید نمد از رشهای حل عددی معادالت متعالی ) ( برای تعیین تقریب ریشه یک چندجمله ای نیز استفاده می کنیم اما رش هایی را نیز معرفی می کنیم که به طر اخص برای چندجمله ای ها مرد استفاده قرار می گیرند. در ادامه به تعاریف زیر نیاز داریم. تعریف 1-1-1: در ریاضیات چندجملهای به عبارتی اطالق می شد که از ترکیب خطی تک جملهایها تشکیل گردیده است. تان متغیرهای به کار رفته در چندجملهای باید اعداد صحیح غیرمنفی باشند. تعریف 2-1-1: قتی تابع یک چندجملهای مانند: معادله است را یک معادله چندجملهای یا معادله جبری می نامند به عبارت دیگر یک معادله چندجملهای معادلهای است که از مسای قرار دادن د چندجملهای مانند حاصل میگردد. 2
2-1 خاص چندجملهایها 1( مجمع د چندجملهای یک چندجملهای است. به عبارت فنیتر مجمعه دربرگیرنده همه چندجملهایها تحت عمل جمع بسته است. ) 2 ضرب د چندجملهای یک چندجملهای است. به زبان دیگر مجمعه چندجملهایها تحت عمل ضرب بسته است. ) 3 مشتق یک چندجملهای یک چندجملهای است. به زبان دیگر مجمعه چندجملهایها نسبت به عمل مشتقگیری بسته است. ) 4 پاد مشتق یک چندجملهای یک چندجملهای است. یا مجمعه چندجملهایها نسبت به عمل انتگرالگیری نامعین بسته است. 3-1 کاربرد چندجملهایها چندجملهایها در تمامی مباحث ریاضیات مهم بده نقش بسیار اساسی دارند.از چندجملهایها برای تقریب تابع در آنالیز عددی حسابی استفاده می شد در خارج از ریاضیات معادالت اساسی اقتصاد علم فیزیک بر اساس چندجملهایها بیان می گردد. در جبرخطی از چندجملهایها برای معادالت مشخصه ماتریسها استفاده می شد.در نظریه گراف چندجملهایهای رنگی تعیین مینمایند که چگنه میتان گراف را با استفاده از تعداد معینی رنگ رنگ آمیزی نمد. در ادامه مسالهای را بیان میکنیم که حل آن مستلزم پیدا کردن ریشههای یک معادله چندجملهای است. 3
مثال 1-3-1: فرض کنید جسمی کری به شعاع زن مخصص در آب قرار دارد. میخاهیم ارتفاع قسمتی از کره را که در آب قرار دارد یعنی را برحسب به دست آریم. بنا به قانن معرف ارشمیدس زن آب جابهجا شده برابر با زن کره است. اما زن آب جابهجا شده برابر حجم قسمتی از جسم است که در آب قرار دارد. برای محاسبه این حجم اگر قطعه نشان داده شده در شکل زیر را حل محر دران دهیم خاهیم داشت : که در نتیجه حجم قسمت قرار گرفته در آب برابر است با : π( ) π π [ ] π ضمنا زن کره π است. پس باید داشته باشیم : π π که پس از ساده کردن با فرض به صرت زیر در میآید: بنابراین تعیین نسبت به مستلزم تعیین ریشه ای از معادله باالست که بین صفر د قرار دارد. 4
1-3-1 چندجملهایهای رنگی یکی دیگر از مباحثی که در آن با یک چندجملهای ماجه میشیم رنگ آمیزی یک گراف است. فرض کنید یک گراف ساده است تعداد رشهایی است که رئس را با رنگ میتان رنگ آمیزی کرد به طری که رئس مجار همرنگ نباشند.در این صرت در کتب نظریه گراف نشان داده میشدکه ) ( یک چندجملهای است. یک چندجملهای است. تذکر 1-3-1: تابع رنگی هر گراف ساده ) ( 2-3-1 چندجملهایهای مشخصه تعیین مقادیر یژه یک ماتریس با درایه هایی در میدان باشد. اگر λ اسکالری در تعریف 1-3-1: فرض کنید آنگاه یک بردار تایی غیرصفر باشد که را یک بردار یژه ابسته به مقدار یژه λ مینامند. برای تعیین مقادیر یژه ماتریس باید معادله ماتریسی λ را حل نمد. با نشتن این معادله به صرت در مییابیم که این معادله یک جاب غیر صفر دارد اگر تنها اگر λ ماتریسی منفرد باشد. λ این مشاهده این حقیقت که یک ماتریس منفرد است اگر تنها اگر دترمینان آن صفر باشد قضیه مهم زیر را نتیجه می دهد. قضیه 1-3-1: اگر λ اسکالری در همان میدانی باشد که درایههای ماتریس به آن تعلق دارند آنگاه λ (λ ) یک مقدار یژه است اگر تنها اگر در معادله صدق کند. اثبات: برای اثبات به ]2[ مراجعه شد. مثال 2-3-1: ماتریس ] [ را در نظر میگیریم. برای این ماتریس داریم: [ ] که با تجه به قضیه قبل مقادیر یژه این ماتریس عبارتند از: λ λ λ 5
اگر یک ماتریس باشد به راحتی می بینیم که یک چندجملهای به شکل زیر است: λ λ λ (λ) (λ یک ماتریس باشد چندجملهای) را چندجملهای تعریف 2-3-1: اگر (λ) مشخصه گیند معادله را معادله مشخصه مربط به آن گیند. با این اصطالحات در این تعریف قضیه قبل را میتان به صرت زیر بیان نمد. فرض کنید A یک ماتریس عددی از همان میدان اسکالری باشد که درایههای A به آن تعلق دارند در این صرت یک مقدار یژه A است اگر تنها اگر یک ریشه از چندجملهای (λ) باشد. معادله مشخصه یک ماتریس نیز کاربردی دیگر از چندجملهایها را نشان میدهد. 4-1 نکاتی در ارتباط با معادالت چندجملهای تعیین ریشههای یک معادله چندجملهای به صرت که در آن از دیرباز مرد تجه بده است یکی از کارهای معمل در ریاضی است که برای حل بسیاری از مسائل با آن برخرد داریم. در قسمتهای بعد به طر خالصه در ارتباط با خاص ریشه ها ارتباط آنها با یکدیگر مطالبی بیان میکنیم. 5 1- رابط بین ریشهها ضرایب یک معادله چندجملهای به طر کلی یک معادله چندجملهای درجه عبارت است از : (1-1). که در آن چن در عمل بیشتر با معادالتی که ضرایب آنها حقیقی است ماجه میشیم فرض میکنیم که هماره حقیقی است. 6
در رابطه با تعیین ریشههای یک چندجملهای میتان به نکات زیر اشاره نمد: اگر چیزی برای حل نداریم زیرا برای از در رابطه( 1-1 ) داریم: همچنین برای یک چندجملهای از درجه د یا درجه سه رشهای تحلیلی حل معادله تعیین ریشهها جد دارد. در مرد چندجملهایهای درجه د یعنی صرت: ) ( ریشهها به به صرت به دست میآیند. در انتهای این بخش رشهایی برای حل معادالت چندجملهای درجه سه درجه چهار ارائه میشد. در قسمت بعد مطالب خاصی در ارتباط با چندجملهایها ارائه میشد. این مطالب در هر کتاب جبر مقدماتی جد دارد فقط به علت تکمیل مباحث مربط به چندجملهایها در این پایان نامه ارائه میشد. آنگاه : اگر در معادله داشته باشیم ( 2-1) که در نتیجه میآید: یک ریشه چندجملهای است سایر ریشهها از چندجملهای درجه زیر به دست بهعاله اگر برا ی داشته باشیم: در این صرت: = 7
یعنی ریشه تکراری مرتبه خاهد بد بقیه ریشهها را از معادله بهدست میآریم که در آن یعنی جمله ثابت در این چندجملهای صفر نیست. بنابراین به طر کلی فرض. میکنیم که در معادله ) 1-1) داریم,, قضیه 1-5-1: معادله (1-1) دارای بنامیم داریم : ریشه حقیقی یا مهمی است اگر ریشههای آنرا ( 3-1) این قضیه در جبر ثابت می شد. ریشهها را میتان به ترتیب زیر مرتب کرد که با تجه به بهعاله رابط زیر بین ضرایب ریشهها برقرارند) این رابط از برابری ضرایب در د طرف (1- ( 3 به دست میآیند(. (الف )ب ) ( )پ آنگاه ریشهه یا عبارتند ا ز مثال 1-5-1: اگر از این جا بنابر( 1 - ( 3 داریم: همچنین داریم: = = 8
ریشه معادله ) 1-1) باشد ریشه معادله زیر است: قضیه 2-5-1: اگر ( 4-1) اثبات: فرض میکنیم ریشه( 1-1) باشد داریم: ( + + ) چن ریشه ) 1-1) است مقدار داخل پرانتز صفر است در نتیجه ریشه معادله (1-4 ( است. قضیه قبل کاربرد فراان دارد. از این قضیه در پیشگیی نع ریشهها تعیین حدد ریشهه یا یک معادله چندجملهای استفاده میشد. مثال 2-5-1: ریشههای دسته معادالت زیر را حساب کنید. { معادله ) ( یک معادله درجه دم است بنابراین:. پس داریم: که در آن با تجه به ارتباط بین ضرایب ریشههای ) ( عبارتند از: یک ریشه مختلط معادله( 1-1 ) باشد یعنی مزدج نیز ریشه معادله ) (1-1 است قضیه 3-5-1: اگر )به خاطر آرید که تمامی ضرایب را حقیقی فرض کردهایم(. فرد باشد معادله ) ( حداقل یک ریشه حقیقی دارد. نتیجه 1-5-1: اگر درجه ) ( ریشه باشد ریشه ) ( است. قضیه 4-5-1: اگر 9
تنها تانهای زج جد داشته باشد یعنی: قضیه 5-5-1: اگر در چندجملهای ) ( تعداد ریشههای حقیقی( 1-1 ( عددی زج باشد(. برای اثبات تمام مارد فق به[ 1 ] مراجعه شد. است )تجه کنید که ممکن است ریشهی حقیقی جد نداشته 6 1- قاعده عالمات دکارت اگر تعداد تغییر عالمت در جمالت متالی تعداد ریشههای مثبت معادله باشد آنگاه عددی زج است. تعداد تغییر عالمت در جمالت متالی ضرایب s ) ( تعداد ریشههای منفی نتیجه 1-6-1: اگر باشد در این صرت عددی زج است. ) ( را در صرت امکان به مثال 1-6-1: تعداد ریشههای حقیقی معادله کمک قاعده عالمات دکارت تعیین کنید. ) ( برابر 2 حل: تعداد تغییر عالمات در ضرایب است از این ر این معادله دارای ریشه مثبت است د همچنین که تعداد تغییر عالمت ضرایب آن یک است یعنی معادله حتما دارای یک ریشه منفی است لی در مرد ریشههای مثبت آن قاعده عالمت دکارت نتیجهای به دست نمیدهد زیرا ممکن است هیچ ریشه مثبت یا د ریشه مثبت داشته باشیم. در قسمت بعد رشهای تحلیلی حل معادالت چندجملهای درجه سه درجه چهار را شرح میدهیم. 11
7-1 رش حل معادالت درجه سم میدانیم که کافی است تنها برای حل معادله درجه سم در شکل کلی یکی از ریشههای حقیقی آن را بتانیم بهدست آریم. د ریشه دیگر را به سادگی میتان از طریق تجزیه معادله معلم نمد. برای پیدا کردن یک ریشه حقیقی معادالت درجه سم نخست مقادیر میآریم: را از فرمل های زیر بهدست آنگاه آنها را در فرمل زیر که مبین معادله است قرار میدهیم تا بتانیم مقدار مبین را به دست آریم : بر حسب آن که مبین مثبت باشد یا صفر یا منفی باشد سه حالت پیش می آید. حالت ال: مبین مثبت است که در این صرت یک ریشه معادله از فرمل زیر به دست می آید : حالت دم: مبین صفر است که در این حالت یک ریشه معادله از فرمل زیر به دست میآید : حالت سم: مبین منفی است که در این صرت یک ریشه معادله از فرمل زیر به دست میآید: که در آن: هر د منفی هستند جاب منفی برای قابل قبل نیست حتما باید π تذکر 1-7-1: در ماردی که به آن اضافه شد تا قابل قبل گردد. 11
را به دست آرید. مثال 1-7-1: ریشه های چندجمله ای داریم بنابراین:,, بنابراین داریم: 1-7-1 1 رش کاردان برای حل معادله درجه سم معادله درجه سم را می تان در حالت کلی به صرت زیر در نظر گرفت : با تغییر متغیر این معادله به صرت زیر تبدیل میشد: ریشههای معادله باال عبارتند از : [ ] [ ] که مبین این معادله عبارت است از : [ ] در ادامه یکی از اثبات های ارائه شده برای فرمل کاردان بیان میشد. 1 Cardano 12
2-7-1 اثبات فرمل کاردان برای حل معادله درجه سم در این قسمت رشی برای استخراج فرمل کاردان به منظر حل معادله درجه سم ارائه میشد. الزم به ذکر است که این فرمل دارای رشهای اثبات متعددی است. یک معادله درجه سم خطی در حالت کلی به صرت زیر است: برای حل این معادله ابتدا تغییر متغیر زیر را اعمال میکنیم تا ضریب درجه دم معادله حذف شد: که به دست میآید: همانطر که می بینید ضریب درجه دم حذف شده معادله به صرت کلی زیر در میآید: برای حل این معادله فرض میکنیم جاب به صرت باشد: در نتیجه میتان تسایهای زیر را نتیجه گرفت: { { 13
در نتیجه ریشههای معادله درجه دم هستند که مبین آن به صرت زیر است: جابهای آن نیز به صرت زیر محاسبه میشد: یکی از این د جاب برابر دیگری برابر است. بنابراین یا: عبارت زیر رادیکال با فرجه 2 میکند. مبین معادله درجه سم نامیده شده شرط جد جاب این معادله را تعیین مثال 2-7-1: چندجملهای زیر را با رش کاردان محاسبه میکنیم: با تغییر متغیر این معادله به صرت زیر تبدیل میشد:. بنابراین مقادیر با ساده کردن تسای فق ) ( عبارتند از: ریشه معادله است بنابراین ریشه ) ( برابر است با: در این صرت = 0 y 14
8-1 رش حل معادله درجه چهار در این قسمت جزئیات رش اگر بتانیم ریشههای معادله: 1 دکارت را برای فاکترگیری چندجملهای در جه چهار بررسی میکنیم. ( 5-1) را پیدا کنیم میتانیم مساله عامل )فاکترگیری( چندجملهای درجه چهار در را نیز حل کنیم. اگر چه بر عکس آن نیز درست است یعنی اگر ما عامل معادله درجه چهار را بدانیم به راحتی با حل معادالت درجه د میتانیم تمام ریشه ها را پیدا کنیم. در رش دکارت برای فاکترگیری از بدن از دست دادن کلیت میتانیم فرض کنیم که:,. میدانیم که اگر آنگاه با جایگزین کردن به دست میآریم حال فاکترگیری را برای چندجملهای زیر تصیف میکنیم )در فضای ) ( 6-1) با ضرب عامل فاکترگیری شده سمت راست داریم: با در نظر گرفتن ضرایب در د طرف مسای فق داریم: { ( 7-1) از معادله ال (1-7 ( داریم با جایگذاری در معادالت دم سم: { ( 8-1) 1 Descartes 15
فرض کنید در این صرت از معادله ال دم در( 1 - ( 8 داریم: { { ( 9-1) با قرار دادن مقادیر (1-9 )در آخرین معادله (1-8 ): (10-1) اگر قرار دهیم معادله درجه سه زیر به دست میآید: (11-1) که اگر معادله دارای یک ریشه مثبت است بنابراین (10-1) یک ریشه حقیقی دارد که (11-1) مخالف صفر است را نیز از (1- ( 9 به دست میآریم. اگر معادالت (1- ( 7 به صرت زیر می باشند { (12-1) با جایگذاری مجدد داریم: { (13-1) از معادله دم (1-13) مقادیر زیر به دست میآیند: یا ) ( اگر باشد با تجه به( 1-13): { (14-1) 16
اگر معادله( 1-13) را در ضرب کنیم مقادیر را به دست میآریم: (15-1) اگر رابطه (12-1) کامل است. اگر به ضح چن باید مرد دم یعنی را در نظر بگیریم از معادلههای ال سم (1-13): (16-1) بنابراین از معادالت (10-1) د ریشه غیر منفی داریم. حال معادله( 11-1 ) را بررسی میکنیم اگر قرار دهیم داریم: (17-1) که در آن: (18-1) فرض کنید مبین آن به صرت زیر است: (19-1) اگر یک ریشه آن به صرت زیر می باشد: ( 20-1) 17
که تنها ریشه حقیقی (1-17) است بنابراین چن پس: ( 21-1) که یقینا ریشه مثبت( 11-1 ) است. اگر آنگاه: { ( 22-1) که بزرگترین ریشه نامنفی از( 1-17) است بنابراین ریشه مثبت (11-1) به صرت زیر است: ( 23-1) اگر آنگاه: ( 24-1) ( ) ( 25-1) بنابراین: ( 26-1) ریشه مثبت (11-1) است. در همه این مارد: ( 27-1) ریشه مثبت (10-1) است بقیه مقادیر( 1 - ( 7 از (1- ( 9 به دست میآیند. در ادامه قضایایی را بیان میکنیم که رابطه بین ریشههای ) ( ریشههای همچنین خصصیا ت اناع را بیان میکند. 18
سه حالت برای ریشه ها جد دارد. )کلیه ریشه ها حقیقی در نظر گرفته شده اند( حالت ال: ) ( دارای یک ریشه نامنفی د ریشه مختلط مزدج است یا یک ریشه نامنفی یک ریشه مضاعف منفی است. حالت دم: حالت سم: دارای یک ریشه نامنفی د ریشه نا مثبت متفات است. سه ریشه نامنفی دارد. قضیه 1-8-1: حالت ال اتفاق میافتد اگر تنها اگر ) ( د ریشه مختلط داشته باشد. حالت دم اتفاق میافتد اگر تنها اگر حالت سم اتفاق میافتد اگر تنها اگر تنها دارای ریشههای مختلط باشد. تنها ریشه های حقیقی داشته باشد. اثبات: برای اثبات به [20] مراجعه شد. قضیه 2-8-1: حالت ال صحیح است اگر تنها اگر: یا ( ( ( ))) یا {( ) حالت دم صحیح است اگر تنها اگر: { ( ( ))) یا ( ( )) حالت سم صحیح است اگر تنها اگر: اثبات: برای اثبات به [20] مراجعه شد. 19
حال نشان میدهیم که این تناظر بین تعداد ریشههای ) ( یک ریداد تصادفی نیست بنابراین باید تمام احتماالت یعنی تعداد ریشههای مضاعف ریشه های سه گانه از ) ( را بررسی میکنیم به همین منظر حاالت ممکن را به هفت مرد تقسیم میکنیم در همه این مارد تعداد ریشههای متناظر با ) ( را نیز پیدا میکنیم. حالت ال: ) ( دارای یک ریشه مضاعف منفی یک ریشه منفرد نامنفی است. حالت دم: ) ( دارای یک ریشه مضاعف صفر یک ریشه منفرد منفی است. حالت سم: ) ( یک ریشه مضاعف مثبت کچکتر از ریشه منفرد مثبت است. 21